TUGAS PEMODELAN MATEMATIKA

PERMASALAHAN
Ada sebuah perusahaan sepatu “MURNI”. Ingin membuat dua macam jenis sepatu. Macam pertama dengan sol dari karet, dan macam kedua dengan sol dari kulit. Dalam proses pembuatan sepatu tersebut melalui dua tahapan. Mereka memiliki tiga macam mesin yang memiliki fungsi berbeda – beda. Dianggap setiap mesin mampu memproduksi sepatu secara maksimal .
Kepala produksi memperkirakan jika memproduksi sepatu dengan sol dari kulit akan memperoleh laba maksimum karena laba yang akan didapat dari hasil produksi setiap lusin sepatu . dengan sol dari kulit kebih besar dibandingkan dengan laba yang diperoleh dari hasil produksi sepatu dengan sol dari karet. Tetapi bagian produksi yang lain memperkirakan jika memproduksi sepatu dengan sol dari karet akan menghasilkan laba yang lebih besar dari pada memproduksi sepatu dengan sol dari kulit, karena melihat jam kerja dari mesin yang digunakan untuk membuat sepatu dengan sol dari karet lebih sedikit dari mesin yang digunakan untuk membuat sol dari kulit.
Kepala produksi di perusahan tersebut menginginkan laba yang besar dalam proses produksi tersebut. Padahal mesin yang dimiliki jam kerja yang terbatas. Jadi timbul masalah sepatu dari bahan apa yang akan diproduksi lebih banyak untuk mendapatkan laba maksimum.
MODEL REAL
Untuk membuat model masalah produksi di atas digunakan beberapa asumsi sebagai berikut :
Dengan memproduksi sepatu dengan sol dari karet dalam jumlah lebih banyak dari pada sepatu dengan sol dari kulit akan menghasilkan laba maksimum karena waktu produksi yang digunakan oleh mesin pada tahap pertama dalam pembuatan sepatu dengan sol dari karet lebih sedikit dari pada waktu produksi yang digunakan oleh mesin tahap pertama dalam pembuatan sepatu dengan sol dari kulit.
Dengan memproduksi sepatu yang terbuat dari kulit lebih banyak dari pada produksi sepatu dari karet akan menghasilkan laba maksimum karena laba yang didapat setiap lusinnya lebih banyak.
Solar sebagai bahan bakar mesin pembuat sepatu naik
Berdasarkan asumsi diatas, misalkan
〖 X〗_1 = jumlah sepatu merek S1( sol dari karet) yang akan dibuat setiap hari.
X_2 = jumlah sepatu merek S2 ( sol dari kulit ) yang akan dibuat setiap hari.
Z = jumlah sumbangan seluruh sepatu merek S1( sol dari karet ) dan merek S1 ( sol dari kulit ) yang akan diperoleh.

MODEL MASALAH
Perusahaan sepatu “ MURNI “membuat dua macam sepatu. Macam pertama merek S1, dengan sol dari karet, dan macam kedua mereka S2 dengan sol dari kulit. Untuk membuat sepatu – sepatu itu perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin 1 khusus membuat sol dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu mereka S1 mula – mula dikerjakan di mesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek S2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin 1 = 8 jam, mesin 2 = 15 jam, dan mesin 3 = 30 jam. Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merek S1 = Rp. 30.000,00 sedang merek S2 = Rp. 50.000,00. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek S1 dan merek S2 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.

Dari model masalah diatas dapat disusun tabel :
Sepatu Merek Sepatu Kapasitas Mesin
Mesin 1 2
1 2 0 8
2 0 3 15
3 6 5 30
∆Z 30.000 50.000


MODEL MATEMATIKA
Batasan :
2X_1 ≤ 8
3X_2 ≤ 15
6X_1+5X_2 ≤ 30
X_1 ≥ 0 , X_2 ≥ 0
Fungsi tujuan maksimum :
Z = 30.000 X_1 + 50.000 X_2

SOLUSI
Grafik







6X_1+5X_2=30……….. (1)
〖2 X〗_1=8……………………..(2)
Penyelesaian :
〖2 X〗_1=8
X_1=4
6.4+5X_2=30
24+5X_2=30

5〖 X〗_2=6
〖 X〗_2=6/5

Jadi (4, 6/5)

6X_1+5X_2=30……….. (1)
〖3 X〗_2=15……………………..(2)
Penyelesaian :
〖3 X〗_2=15
X_2=5
6X_1+5.5=30
6X_1=5
〖 X〗_2= 5/6

Jadi (5, 5/6)

〖 X〗_1 〖 X〗_2 Z
0 0 0
4 0 120.000
4 6/5 180.000
5/6 5 275.000
0 5 250.000

Z maksimal adalah Rp. 275.000,00 di 〖 X〗_1=5/6 dan 〖 X〗_2=5
Jadi untuk mendapatkan laba yang maksimum sepatu merek S1 dibuat sebanyak 5/6 lusin, dan sepatu merek S2 dibuat sebanyak 5 lusin.