A. Permasalahan
Prinsip dasar penelitian ilmiah adalah bahwa semua proposisi dan teori agar dapat diterima harus ada landasan yang cukup. Dalam sains empirik, landasan dasar diterimanya suatu teori adalah adanya kecocokan atau konfirmasi antara prediksi yang berlandaskan suatu teori dengan bukti empiris yang diperoleh melalui eksperimental ataupun observasi sistematis. Landasan dasar apakah dapat diterimanya matematika dan tidak menyangsikan? Inilah masalah yang akan dibahas.
B. Apakah Kebenaran Proposisi Matematika Bersifat Self-Evident (Sudah Pasti)
Kebenaran matematika adalah self-evident (terang benderang) oleh karena itu tidak memerlukan bukti faktual dan tidak pula atas dasar pertimbangan yang lain. Pandangan tersebut dengan meletakkan keputusan-keputusan bahwa kebenaran matematika pada semacam perasaan self-evident akan menemui banyak kesulitan karena:
1. banyak teorema yang sulit dibangun bahkan oleh spesialis bidangnya, mereka melihat sesuatu tetapi bukan self evident
2. sudah terkenal bahwa beberapa hasil matematika amat sangat menarik terutama pada bidang-bidang abstrak seperti teori himpunan dan topologi yang menunjang jauh ke akar intuisi yang bertentangan dengan semacam perasaan self-evident
3. adanya konjektur matematis seperti konjektur dari Goldbach setiap bilangan genap adalah jumlah dari dua bilangan prima,
misalnya: 8 = 3 + 5 dan,
Fermat (tak ada bilangan bulat a, b, c, yang memenuhi an + bn = cn untuk n > 2) yang sebenarnya sangat elementer isinya belum ditentukan “benar-salahnya” sampai sekarang ini, tentu hal ini menunjukkan bahwa tidak semua kebenaran matematika bersifat self-evident.
Akhirnya meskipun jika self-evident hanya diberikan kepada postulat-postulat dasar matematika, dan dari postulat-postulat tersebut diturunkan proposisi-proposisi matematika. Patut dicatat bahwa pertimbangan bahwa seperti apa yang dapat dipandang sebagai self-evident adalah subjektif.
C. Apakah Matematika juga Sains Empiris yang paling umum?
Menurut John Stuart Mill, matematika dengan sendirinya merupakan sains empiris yang berbeda dengan cabang-cabang lainnya seperti astronomi, fisika, kimia dan sebagainya. Utamanya dalam dua aspek yaitu:
1. Substansinya lebih umum daripada substansi penelitian ilmiah yang lain, dan
2. Proposisi-proposisinya telah diuji dan dikonfirmasikan jauh lebih luas dari pada penelitian ilmiah yang paling canggih sekalipun seperti dalam astronomi maupun fisika.
Menurut pandangan ini, sejauh mana hukum-hukum matematika telah di bawa oleh pengalaman-pengalaman masa lampau dalam sejarah kemanusiaan yang panjang sehingga tidak perlu dipertimbangkan lagi. Teorema-teorema matematika secara kualitatif berlainan dari hipotesis-hipotesis atau teori-teori dari cabang-cabang sains lainnya.
Akan tetapi pandangan ini, membuka keberatan serius. Dari suatu hipotesis yang bersifat empiris, misalnya:hukum gravitasi Newton tetap saja masih ada kemungkinan membuat prediksi terhadap pengaruh situasi dan kondisi tertentu suatu fenomena tertentu yang dapat diamati akian dapat terjadi. Dari fenomena tersebut akan membangun bukti konfirmasi, sedangkan dengan tidak terjadinya fenomena mengindikasi bukti tidak konfirmnya hipotesis. Akibatnya khusus untuk hipotesis empirik secara teoritis tidak cocok yaitu karena adanya kemungkinan mengindikasi jenis bukti apa, jika secara aktual bertentangan akan menolak hipotesis.
Sebagai gambaran:Kita taruh beberapa mikroba pada sebuah slide film, taruhlah mula-mula tiga mikroba kemudian dua mikroba yang lain. Setelah itu kita hitung semua mikroba untuk menguji apakah dalam contoh ini 3 dan 2 benar-benar menjadi 5. Seumpama kita menghitung ternyata ada 6 mikroba. Kita tidak memandang hasil ini sebagai bukti empiris tentang ketakcocokannya proposisi yang diberi atau sekurang-kurangnya sebagai tidak dapat dipakainya proposisi itu untuk perhitungan mikroba, melainkan kita memikirkan bahwa kita telah melakukan kesalahan dalam perhitungan atau salah satu mikroba tersebut telah membelah diri menjadi dua. Dalam pertimbangan apapun seperti yang telah dilukiskan itu tidak satu pun menyangkal proposisi aritmetik dalam permasalahan itu. Sebab proposisi tidak kena-mengena dengan tingkah laku mikroba, proposisi itu senmata-mata hanya menyatakan bahwa sebarang himpunan terdiri atas 3+2 objek dapat juga dikatakan terdiri atas 5 objek. Dan memang demikian sebab lambang “3 + 2” dan”5” menyatakan bilangan yang sama. Keduanay sinonim menurut fakta bahwa lambang-lambang “2”,”3”,”5”, dan”+” didefinisikan (atau dipahami diam-diam) dengan cara demikian sehingga identitas di atas berlaku sebagai konsekuensi dari makna yang terkandung di dalam konsep yang terlibat di dalamnya.
D. Sifat Analitis Proposisi Matematika
Pernyataan 3 + 2 = 5 adalah benar menyerupai alasan, umpamanya asersi bahwa tidak ada seksagerian berusia 45 tahun. Keduanya benar menurut definisi yang menentukan makna dari term-term kunci yang terlibat. Pernyataan ini memberikan ciri khas tertentu yang penting:validasinya tidak memerlukan bukti empiris. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai benar semata-mata hanya analisis makna yang terkandung di dalam term yang ada di dalamnya. Dalam bahasa logika, kalimat-kalimat jenis ini disebut analisis atau benar apriori yang mengindikasikan bahwa nilai kebenarannya logis dari atau apriori secara logis pada sebarang bukti eksperimental.
Pernyataan sains empiris yang disebut sintesis dan dapat divalidasi hanya posteriori dan terus menerus terbuka terhadap bukti baru, sedangkan kebenaran pernyataan analisis dapat dibangun sekali untuk selamanya. Ciri khas “kepastian teoritis” dari proposisi analitis harus dibayar mahal:suatu pernyataan analitis tidak membawa informasi faktual. Misalnya pernyataan tentang seksagerian di atas tidak mengasersikan apapun yang dapat mempertentangkan dengan sebarang bukti faktual:pernyataan tersebut tidak memiliki faktual, tidak ada kandungan empiris dan dengan alasan yang persis inilah pernyataan itu dapat divalidasi tanpa sumber bukti empiris.
E. Matematika adalah sistem Deduktif Aksiomatis
Validitas matematika tidak terletak pada pernyataan sifat self-evidentnya dan tidak pula pada dasar empiris akan tetapi diturunkan dari persyaratan yang menentukan makna konsep-konsep matematika serta proposisi-proposisi matematika dengan demikian adalah “benar menurut definisi”.
Dalam perkembangannya teori matematika bukan perolehan mudah dari perangkat definisi sederhana tetapi dari perangkat proposisi-proposisi nondefinisional yang tidak dibuktikan dalam teori itu. Postulat-postulat sendiri sering dikatakan menyajikan “definisi implisit” dari term-term primitif. Postulat-postulat tersebut terbatas dalam arti khusus makna yang mungkin dapat diberikan kepada primitif-primitif sebarang postulat yang self konsisten meskipun demikian banyak interpretasi berbeda-beda atas term primitif. Sedangkan perangkat definisi dalam arti langsung dari kata-kata menentukan makna dari yang didefinisikan dalam bentuk tunggal.
Setelah term-term positif dan postulat-postulat ditetapkan seluruh teori atau teorema sudah tertentu dengan lengkap. Teori-teori dapat diturunkan dari landasan postulatsional dengan cara:setiap term dari teori dapat didefinisikan dalam term primitif, dan setiap proposisi dalam teori dapat dideduksi secara logis dari postulat-postulat. Agar seluruhnya persis perlu mencirikan prinsip-prinsip logika. Prinsip-prinsip logika terbagi dalam dua kelompok:kalimat primitif/ postulat dari logika dan aturan-aturan deduksi atau penyimpulan.
F. Kesimpulan
Teori sains empiris, misalnya fisika atau psikologi dikatakan benar sejauh teori itu cocok dengan bukti empiris/kenyataan di luar sedangkan matematika tidak ada sangkut pautnya dengan bukti empiris. Kebenaran matematika diperoleh makna yang dikandung oleh proposisi yang bersangkutan.
Kebenaran matematika diawali dengan aksioma dan teori matematika diturunkan secara logis dengan sistem logika maka kebenaran matematika disebut kebenaran kondisional. Kebenaran perangkat aksioma matematika bukan self evident truth bukan pula sains empiris yang lebih umum tetapi apriori, benar sekali untuk selamanya. Kebenaran sains empiris adalah posteriori, selama masih cocok dengan dunia luar atau sampai ada bukti empiris yang menolak kebenaran itu.
